৫ ও ৭ দিয়ে বিভাজ্য সংখ্যা দুটি কত?

রবিবার, ১৭ সেপ্টেম্বর ২০১৭ ১৪:০৮ ঘণ্টা

প্রথমে আমরা গণিতে ৯ দিয়ে বিভাজ্যতার একটি মজার বিষয় দেখি। বলুন তো ৬৯৮৪ সংখ্যাটি কি ৯ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য? এক নজর দেখেই বলতে হবে। পারলেন না তো? আমি বলছি, হ্যাঁ, নিঃশেষে বিভাজ্য। কীভাবে বললাম? খুব সোজা। প্রথমে সংখ্যার অঙ্কগুলো যোগ করি। যোগফল যদি ৯ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হয়, তাহলেই সংখ্যাটি ৯ দিয়ে বিভাজ্য হবে। যোগফল যদি বড় হয়ে যায়, তাহলে অবশ্য আমরা এর অঙ্কগুলো আবার যোগ করি। এভাবে যোগ করতে করতে যদি তা ৯-এ পৌঁছায়, তাহলে পুরো সংখ্যাটি ৯ দিয়ে বিভাজ্য হবে। আর যদি যোগফল ৯ দিয়ে বিভাজ্য না হয়, তাহলে সংখ্যাটি ৯ দিয়ে বিভাজ্য হবে না। এ ক্ষেত্রে দেখছি, ৬৯৮৪ = (৬ + ৯ + ৮ +৪) = ২৭ = (২ + ৭) = ৯। সুতরাং, ৬৯৮৪ সংখ্যাটি ৯ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য।

প্রশ্ন হচ্ছে, কেন এটা হয়? এর কারণ হলো, ১০-এর যেকোনো ঘাত (পাওয়ার) নিয়ে প্রাপ্ত সংখ্যাকে ৯ দিয়ে ভাগ করলে ১ অবশিষ্ট থাকে। এবং যেকোনো সংখ্যার অঙ্কগুলোকে আমরা স্থানাঙ্ক দিয়ে প্রকাশ করলে তা ১০-এর কতগুলো ঘাত নিয়ে প্রাপ্ত সংখ্যার সমষ্টি হিসাবে প্রকাশ করতে পারি। তাই শেষ পর্যন্ত দেখা যায়, যেকোনো সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল ৯ দিয়ে বিভাজ্য হলে পুরো সংখ্যাটিই বিভাজ্য হয়।

যেমন: আমরা লিখতে পারি, ৬৯৮৪ = ৬০০০ + ৯০০ + ৮০ + ৪ = ৬*১০০০ + ৯*১০০ + ৮*১০ + ৪*১
= ৬*(১০০০) + ৯*(১০০) + ৮*(১০) + ৪*(১)
= ৬*(১ + ৯*১১১) + ৯*(১ + ৯*১১) + ৮*(১ + ৯*১) + ৪*(১ + ৯*০)
= (৬ + ৯ + ৮ + ৪) + (৯ দিয়ে বিভাজ্য একটি সংখ্যা)।

এখন আমরা দেখছি, সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল ৯ দিয়ে বিভাজ্য হলেই পুরো সংখ্যাটি ৯ দিয়ে বিভাজ্য হবে।

আরেকটি মজার প্রশ্ন দেখুন। বলুন তো দুই অঙ্কের কয়টি সংখ্যা ৯ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য?

এর উত্তর বের করার জন্য আমরা প্রথমে দেখব দুই অঙ্কের কোন সংখ্যাগুলোর অঙ্ক দুটির যোগফল ৯। তাহলেই উত্তর পেয়ে যাব।

দুই অঙ্কের সংখ্যাগুলো ১০ থেকে ৯৯-এর মধ্যে থাকবে। এদের মধ্যে ১৮, ২৭, ৩৬, ৪৫, ৫৪, ৬৩, ৭২, ৮১, ৯০ ও ৯৯—এই ১০টি সংখ্যাই ৯ দিয়ে বিভাজ্য।

এ সপ্তাহের প্রশ্ন
বলুন তো তিন অঙ্কের সবচেয়ে বড় ও সবচেয়ে ছোট কোন দুটি সংখ্যা ৫ ও ৭ উভয় সংখ্যা দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য?

উত্তর অনলাইনে মন্তব্য আকারে অথবা ই-মেইলে পাঠাতে পারেন।

গত রোববারের প্রশ্নের উত্তর
প্রশ্নটি ছিল এ রকম: তিন আপন ভাইবোনের বয়সের গুণফল ৪৮। যদি এদের দুই ভাইবোন যমজ হয়, তাহলে তৃতীয়জনের বয়স কত? এখানে ধরে নিতে হবে প্রত্যেকের বয়স পূর্ণ বছর, ভগ্নাংশ হিসাবে ধরা হয়নি।

উত্তর: তৃতীয়জনের বয়স ১২ অথবা ৩ এবং দুই যমজ ভাইবোনের প্রত্যেকের বয়স যথাক্রমে ২ অথবা ৪।

কীভাবে বের করলাম
যেহেতু তিন আপন ভাইবোনের বয়সের গুণফল ৪৮ এবং তাদের দুই ভাইবোন যমজ, তাই ৪৮-কে তৃতীয়জনের বয়স দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল হতে হবে একটি বর্গ সংখ্যা, কারণ, অপর দুজন যমজ, তাই তাদের বয়স সমান। প্রথমে আমরা বর্গ সংখ্যাগুলো হিসাবে নিয়ে দেখি কী হয়। দেখা যাক, প্রথম বর্গ সংখ্যা ১ ধরে অপরজনের বয়স কত। অর্থাৎ, দুই যমজ ভাইবোনের প্রত্যেকের বয়স যদি ১ হয়, তাহলে তাদের দুজনের বয়সের গুণফল ১। সে ক্ষেত্রে তৃতীয়জনের বয়স হতে হবে ৪৮, কারণ তিনজনের বয়সের গুণফল ৪৮। এটা অস্বাভাবিক। আপন ভাইবোনের বয়সের পার্থক্য ৪৮ প্রায় অসম্ভব। সুতরাং, পরবর্তী বর্গ সংখ্যা ৪ নিয়ে হিসাব করে দেখা যাক কী হয়। যদি যমজ দুই ভাইবোনের প্রত্যেকের বয়স ২ হয়, তাহলে তাদের বয়সের গুণফল হবে ৪ এবং অপরজনের বয়স হবে ৪৮/৪ = ১২। এটা সম্ভব। এর পরবর্তী বর্গ সংখ্যা ৯। কিন্তু যেহেতু ৪৮ সংখ্যাটি ৯ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য নয়, তাই এটা হতে পারে না। এর পরবর্তী বর্গসংখ্যা ১৬। সে ক্ষেত্রে অপরজনের বয়স হবে ৪৮/১৬ = ৩। এর পরবর্তী বর্গ সংখ্যাগুলো ২৫ বা ৩৬। এগুলো হিসাবে আসবে না, যেহেতু ওই সংখ্যাগুলো দিয়ে ৪৮ নিঃশেষে বিভাজ্য নয়। সুতরাং, তৃতীয়জনের বয়স হতে পারে ১২ অথবা ৩। এবং সে ক্ষেত্রে যমজ ভাইবোনের প্রত্যেকের বয়স হবে যথাক্রমে ২ অথবা ৪।

গত রোববার আমাদের অনলাইনে মো. সৈকতের উত্তরটি আমরা এখানে গুরুত্ব দিতে পারি। তিনি লিখেছেন, দুই যমজ সন্তানের বয়স যদি চার বছর করে হয়, তাহলে কোনো মা সাধারণত এর পরের বছরেই আরেকবার সন্তান ধারণ করতে চাইবেন না, এ রকম ঘটনা খুব খুব স্বাভাবিক না। তাই উত্তর হতে পারে একটাই, তিনজনের বয়স যথাক্রমে ১২, ৩ ও ৩ বছর। তাঁকে অভিনন্দন।

We use cookies to improve our website. By continuing to use this website, you are giving consent to cookies being used. More details…